Utilisateur:ThibautLienart/Thm Runge

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Théorème d'expansion de Mittag-Leffler

Théorème de Mittag-Leffler

Théorème de Runge

// Voir Rudin p. 284 etc.. + wiki en (intro, pas preuve). //

Enoncé

Soient $K\subset \mathbb {C}$ un ensemble compact et $\{\alpha _{j}\}$ un ensemble qui contient un point dans chaque composante connexe de ${\hat {\mathbb {C} }}\backslash K$. Soient $\Omega$ un ouvert contenant K, f une fonction holomorphe sur $\Omega$ et $\epsilon >0$, alors il existe une fonction rationnelle R dont tous les pôles appartiennent à l'ensemble $\{\alpha _{j}\}$ telle que :

$|f(z)-R(z)|<\epsilon$

pour tout $z\in K$.

Remarque : ${\hat {\mathbb {C} }}$ représente la sphère de Riemann.

Démonstration

Soit l'espace de Banach $C(K)$ des fonctions continues sur K muni de la norme sup. Soit M un sous-espace de $C(K)$ contenant les fonctions rationnelles ayant tous leurs pôles dans $\{\alpha _{j}\}$. Le théorème indique que f est dans la fermeture de M.